Cómo derivar las leyes del movimiento de Newton

July 29

Cómo derivar las leyes del movimiento de Newton


leyes del movimiento de Isaac Newton cambió la percepción humana del universo, a partir de aquel en el que una esfera celeste insondable gobernaba sobre el mundo terrenal a un lugar regido por las mismas leyes universales en todas partes. Tal como se describe, por ejemplo, en el ensayo de George Smith "de Newton Philosophiae Naturalis Principia Mathematica," las leyes de Newton general recogen y principios ya conocidos codificados - pero fueron ideas basadas en la observación y la lógica, y no se "derivan" en el habitual sentido de la palabra. Sin embargo, siguiendo ejemplos como la dada por Tom Kirchner en sus notas de clase de la mecánica clásica de la Universidad de York, es posible derivar las ecuaciones de Newton del movimiento del principio de mínima acción de Hamilton.

instrucciones

Establecer un marco para la derivación

1 Construir la función de Lagrange. La integral de la función de Lagrange con el tiempo es la "acción", que debe ser reducido al mínimo, en consonancia con el principio de Hamilton.

La función de Lagrange se define como la energía cinética menos la energía potencial, normalmente expresada como L = T - U.

2 Calcular la ecuación que satisface la condición de minimización.

La derivación de la condición de minimización se puede encontrar - entre muchos otros lugares - en las notas profesor Frank Wolfs 'de la Universidad de Rochester de la clase mecánica clásica. La condición de minimización es d / dt (∂L / ∂xdot) - ∂L / ∂x = 0, donde xdot es la derivada de tiempo de la función x (t), también llamada la velocidad.

3 La construcción de las ecuaciones de movimiento para las condiciones específicas.

La ecuación de movimiento con ninguna fuerza externa - Primera Ley de Newton

4 Cómo derivar las leyes del movimiento de Newton

Leyes de Newton se formulan para masas puntuales, las cosas que pueden ser considerados como bolas de billar diminutos.

Calcular la energía cinética y potencial de una masa puntual.

En una dimensión, la energía cinética está dada por T = (1/2) m (xdot) ^ 2, y sin fuerzas externas, la energía potencial, U, es cero.

5 Construir la función de Lagrange.

Para esta situación, T - U = (1/2) m (xdot) ^ 2 - 0 = (1/2) m (xdot) ^ 2

6 Calcular los términos de la condición de minimización.

d / dt (∂L / ∂xdot) = d / dt (∂ ((1/2) m (xdot) ^ 2) / ∂xdot)) = m * xdoubledot, donde xdoubledot es la segunda derivada de x (t) con respecto al tiempo, más comúnmente llamado la aceleración, y ∂L / ∂x = 0, ya que no hay términos que dependen de x.

7 Construir la condición de minimización.

d / dt (∂L / ∂xdot) - ∂L / ∂x = m * = 0 xdoubledot

8 Integrar la ecuación con respecto al tiempo.

Terminamos con la ecuación x (t) = v0 * t + x0, que dice que la posición de la masa puntual es la posición en la que comenzó, más la velocidad a la que se veces el tiempo que ha estado moviendo en movimiento. Esto es lo mismo que la primera ley de Newton, que establece que si no hay fuerzas, un cuerpo en reposo permanece en reposo y un cuerpo en movimiento mantiene el mismo movimiento.

Ecuación de Movimiento Conservador con una fuerza externa - Segunda Ley de Newton

9 Calcular la energía cinética y potencial de una masa puntual.

En una dimensión, la energía cinética está dada por T = (1/2) m (xdot) ^ 2, mientras que la energía potencial es U (x), que representa una fuerza que puede transferir energía a la masa punto.

10 Construir la función de Lagrange.

Para esta situación, T - U = (1/2) m (xdot) ^ 2 - T (x).

11 Calcular los términos de la condición de minimización.

d / dt (∂L / ∂xdot) = d / dt (∂ ((1/2) m (xdot) ^ 2) / ∂xdot)) = m * xdoubledot, y ∂L / ∂x = -∂U / ∂x. Una fuerza conservadora, una fuerza que no es la fricción, se obtiene mediante la ecuación F = -∂U / ∂x, por lo ∂L / ∂x = F.

12 Construir la condición de minimización.

d / dt (∂L / ∂xdot) - ∂L / ∂x = m * xdoubledot -F = 0.

13 Reorganizar la ecuación.

F = m * xdoubledot, o, la sustitución de la letra a, para la aceleración, para xdoubledot, F = ma, que es la formulación habitual para la segunda ley de Newton.

Consejos y advertencias

  • Tercera Ley de Newton, que indica que por cada acción hay una reacción igual y opuesta, tiene una representación matemática, pero no se traduce directamente en cualquier ecuación de movimiento que se puede derivar.

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