¿Cómo resolver la conjetura de Poincaré

November 18

La conjetura de Poincaré, planteada inicialmente como una cuestión topográfica, fue resuelto por Grigori Perelman después de casi un siglo de trabajo por los matemáticos que tratan de resolver la cuestión. La conjetura de Poincaré se refiere a la naturaleza de las esferas. Debido a la conjetura ha sido resuelto, ahora se considera un teorema.

instrucciones

1 Definir la diferencia entre un 3-esfera y un 3-variedad, como originalmente planteado por Henri Poincaré. La pregunta de Poincaré era si una 3-variedad con un grupo fundamental trivial era necesariamente un 3-esfera.

2 Definir "grupo fundamental trivial" como la calidad de una esfera en la que cada bucle dibujado en la superficie puede ser reducido a un solo punto.

3 Comprender frases originales de Poincaré, que le preguntó si un colector de 3 dimensiones compactas y sin límite podría tener un grupo fundamental que fue trivial (como una esfera 3) si el colector no era un 3-esfera.

4 Reformular la declaración original como la conjetura estándar, que es que cada simplemente conexo, compacto 3-variedad (sin límite) es homeomorfo a la 3-esfera.

5 Resolver el n = 1 y n = 2 caso de la conjetura por sabiendo que el n = 1 caso se sabe que es trivial y el n = 2 caso es conocido por ser clásica. El caso n = 3 es la conjetura original, probado por Perelman.

6 Utilice de geometrización de Thurston para encontrar que la solución de Perelman de la conjetura de Poincaré se desprende de los resultados. La conjetura de Thurston demostró que, después de dividir una 3-variedad en su suma conectado y el Jaco-Shalen-Johannson toro de descomposición, el resultado es que los componentes restantes se ajuste exactamente a cada uno de los 8 geometrías especificadas. El problema de Poincaré es un subconjunto de Thurston.

Consejos y advertencias

  • Comprender la conjetura de Poincaré es una cuestión de topografía, de modo que si están bien versados ​​en el álgebra y combinatoria, puede aplicar estos principios a la topografía para comprender la naturaleza de la pregunta de Poincaré.

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